В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке M , причём AM=2R и CM=3R. а) Докажите,

Пусть F и K - точки касания окружности со сторонами AB и BC соответственно. AM=AF=2R по свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности. Аналогично, CM=CK=3R. OM=OK=OF=R. O - центр вписанной окружности. OF перпендикулярна AB, OK перпендикулярна BC, так как касательная перпендикулярна радиусу проведенному в точку касания. BFOK - квадрат. BF=BK=OF=OK=R. Проверим, AC^2=(2R+3R)^2=(5R)^2=25R^2, AB^2+BC^2=(2R+R)^2+(3R+R)^2=(3R)^2+(4R)^2=9R^2+16R^2=25R^2. По теореме обратной теореме Пифагора, если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то такой треугольник прямоугольный. Значит треугольник ABC = прямоугольный, с прямым углом у вершины B.Центр окружности P, описанной около прямоугольного треугольника лежит на середине его гипотенузы. MC=3R=3*2=6, AC=5R=5*2=10. PC=AC/2=10/2=5. MP=MC-PC=6-5=1. Из треугольника OMP (угол M - прямой) по теореме Пифагора найдем OP. OP^2=OM^2+MP^2, OP^2=2^2+1^2=5, OP=√5.http://bit.ly/2jBGj4r