В треугольнике АВС, CD-биссектриса. Доказать, что CD^2(в квадрате)=АС*СВ-АD*DB.

Обозначим ВС = а, АС = b, DB = x, AD = y.По свойству биссектрис x/y = a/b.Или, x * b = a * y (1).Пусть угол ВСD = ACD = α.Тогда по теореме косинусов стороны x и y запишем в виде:x^2 = a^2 + DC^2 – 2 * a * DC * cosα.y^2 = b^2 + DC^2 – 2 * b * DC * cosα.Выразим cosα в обоих уравнениях и приравняем левые части.Cosα = (a^2 + DC^2 – x^2)/(2 * a * DC).Cosα = (b^2 + DC^2 – y^2)/(2 * b * DC).(a^2 + DC^2 – x^2)/(2 * a * DC) = (b^2 + DC^2 – y^2)/(2 * b * DC).(a^2 + DC^2 – x^2)/a = (b^2 + DC^2 – y^2)/b.b * a^2 + b * DC^2 – b * x^2 = a * b^2 + a * DC^2 – a * y^2DC^2 * (b – a) = b * a * (b – a) + (b * x^2 – a * y^2).Используя (1), перепишем выражение в скобках.b * x^2 – a * y^2 = (b * x) * x – (a * y) * y == a * y * x – b * x * y = y * x * (a – b).Тогда,DC^2 * (b – a) = b * a * (b – a) + y * x * (a – b) == b * a * (b – a) – y * x * (b – a).DC^2 = b * a – y * x.DC^2 = AC * BC – AD * DB.