В прямоугольную трапецию с основаниями а и b вписана окружность радиуса r. Докажите , что r= a*b/(a+b)

Рассмотрим прямоугольную трапецию АВСD.Точки K, L, M, N — точки касания сторон AB, BC, CD, AD с окружностью соответственно.а — нижнее основание, b — верхнее основание, О — центр окружности.Тогда BL = BK = AK = AN = r, LC = CM = b – r, MD = ND = a – r.Пусть ОС = х, ОD = y.Треугольники МОС и МОD — прямоугольные, так как касательная СD перпендикулярна радиусу.Тогда,х^2 = r^2 + (b – r)^2.(1) y^2 = r^2 + (a – r)^2.Из прямоугольного треугольника OCD:(2) y^2 = (b + a – 2 * r)^2 – x^2 = (b + a – 2 * r)^2 – r^2 - (b – r)^2.Приравняем (1) и (2).(b + a – 2 * r)^2 – r^2 - (b – r)^2 = r^2 + (a – r)^2;(b + a)^2 – 4 * r * (b + a) + 4 * r^2 – 2 * r^2 = a^2 – 2 * a * r + r^2 + b^2 – 2 * b * r + r^2;b^2 + 2 * a * b + a^2 – 4 * r * b – 4 * r * a + 2 * r^2 = a^2 + b^2 – 2 * a * r – 2 * b * r + 2 * r^2.2 * a * b – 2 * r * b – 2 * r * a = 0.a * b – r * (b + a) = 0.r = a * b/(b + a).