Две окружности касаются внешним образом в точке К. Прямая касается первой окружности в точке А, а второй – в точке В.

Решение. а). Пусть две окружности О и О₁ касаются друг друга внешним образом в точке К. Прямая АВ касается первой окружности в точке А, а второй окружности – в точке В. Прямая ВК пересекает первую окружность в точке D, прямая АК пересекает вторую окружность в точке С. Пусть точка М – точка пересечения касательных МК и АВ. Значит, МА и МК - касательные, проведённые из точки М к первой окружности, МК и МВ - касательные, проведённые из точки М ко второй окружности. По свойству касательных МК = МА и МК = МВ. Получаем, что МК = МА = МВ. Тогда КМ - медиана треугольника АКВ, равная половине стороны, к которой она проведена КМ = ½ ∙ ВС. Рассмотрим дополнительно окружность, описанную вокруг ∆ АКВ с центром в точке М, радиусом КМ, в ней ∠АКВ = 90°, так как он опирается на диаметр, получается, что ∆ АКВ - прямоугольный. ∠ DКС = ∠АКВ = 90°, как вертикальный, тогда и смежные для ∠ DКС и ∠АКВ будут ∠ АКD = ∠ВКС = 90°, и АD – диаметр первой окружности и ВС – диаметр второй окружности, перпендикулярные АВ. Значит, AD | | ВС. Что и требовалось доказать.б). Чтобы найти площадь треугольника DКС, если известно, что радиусы окружностей равны ОА = 1 и О₁В = 4, рассмотрим прямоугольную трапецию АВСD с основаниями АD = 2 ∙ ОА = 2 и СВ = 2 ∙ О₁В = 4. Высоту трапеции АВ находим по теореме Пифагора (ОА + О₁В)² = АВ² + (О₁В – АО)² или 5² = АВ² + 3²; АВ = 4. Из прямоугольного треугольника АВD (∠А = 90°,) по теореме Пифагора находим ВD² = АD² + АВ²; ВD² = 2² + 4²; ВD² = 20; ВD = 2 ∙ √5. Так как АК – высота, проведённая к гипотенузе ВD, находим DК = АD²/ ВD; DК = 0,4 ∙ √5. Прямоугольные треугольники подобны ∆АКD ∽ ∆СКВ по 1 признаку, так как ∠DАК = ∠КСВ, как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АD и ВС секущей АС, тогда КС = (СВ/АD) ∙ DК = 1,6 ∙ √5. Площадь треугольника S(∆DКС) = (DК ∙ КС)/2 = (0,4 ∙ √5 ∙ 1,6 ∙ √5)/2 = 1,6.Ответ: площадь треугольника составляет 1,6 квадратных единиц.