В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 4 см, высота 6 см. найдите площадь поверхности пирамиды

Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды определим как сумму площадей основания и боковой поверхности: S = Sосн + Sбок.В основании лежит правильный треугольник, его площадь определим по формуле Sосн = a2√3 / 4, где а - сторона основания.Площадь боковой поверхности определим как сумму площадей боковых граней. В правильной треугольной пирамиде боковые грани представляют собой равные равнобедренные треугольники, поэтому Sбок = 3 * 0,5 * а * h, где а - сторона основания, h - апофема.Апофему найдем как гипотенузу прямоугольного треугольника, в котором катеты - высота пирамиды и радиус окружности, вписанной в основание: h = √ (r2 + H2).Радиус окружности, вписанной в основание, определяем по формуле: r = a / 2√3.r = a / 2√3 = 4 / 2√3 = 2 / √3;h = √ (r2 + H2) = √ (4 / 3 + 36) = √ (112 / 3) = 4√7 / √3;Sбок = 3 * 0,5 * а * h = 3 * 4 * 4√7 / 2√3 = 24√7 / √3;Sосн = a2√3 / 4 = 16√3 / 4 = 4√3;S = Sосн + Sбок = 4√3 + 24√7 / √3 ≈ 43,59 см2.

Дано:

SАВС - правильная треугольная пирамида;

SO - высота;

АВ = 4 см;

SO = 6 см.

Найти:

S поверхности пирамиды.

Чертеж:

http://bit.ly/2zpWMR7

Решение:

 

Найти площадь основания

В основании правильной треугольной пирамиды - правильный (то есть равносторонний) треугольник. Чтобы найти его площадь, воспользуемся следующей формулой:

S = √3 a^2 / 4, где а - сторона треугольника.

В нашем случае а = 4, значит:

S основания = √3 * 4^2 / 4 = 4 √3

Найти апофему пирамиды

Апофема пирамиды - это высота ее боковой грани. Боковые грани правильной треугольной пирамиды - равнобедренные треугольники. А значит апофема не просто высота, а еще и медиана боковой грани.

Пусть М - середина АВ. Найдем апофему SM.

СМ - высота и медиана треугольника АВС. По теореме Пифагора в треугольнике ВСМ:

СМ^2 = ВС^2 - BM^2 = 4^2 - (4/2)^2 = 16 - 4 = 12

CM = √12

Медианы в треугольнике точкой пересечения делятся в отношении 2:1. Поэтому:

ОМ = 1/3 СМ = √12 / 3

По теореме Пифагора в треугольнике  SOМ:

SM^2 = SO^2 + OM^2 = 6^2 + (√12 / 3)^2 = 36 + 12/9 = 36 + 4/3 = 37 1/3 = 112/3

SM =  √112/3 = 4√7/3 

Найти площадь боковой грани

Площадь треугольника найдем по формуле S = 1/2 ah.

S боковой грани = 1/2 * AB * SM = 1/2 * 4 * 4√7/3 = 8√7/3

Найти площадь поверхности пирамиды.

Поверхность пирамиды состоит из 4-х граней:

• основание АВС;
• боковая грань SAB;
• боковая грань SAC;
• боковая грань SCB.

Чтобы найти площадь поверхности, сложим площади этих треугольников:

S поверхности =  4√3 + 8√7/3 + 8√7/3 + 8√7/3 = 4√3 + 24√7/3 = 4√3 + 24√21 / 3 = 4√3 + 8√21 

Ответ: 4√3 + 8√21  квадратных сантиметров.