Расстояние от центра основания конуса до образующей равно 3 см. Угол при вершине осевого сечения равен 120. Найдите площадь

Расстояние от центра основания конуса до образующей равно 3 см. Угол при вершине осевого сечения равен 120°. Найдите площадь осевого сечения конуса.

Нарисуйте конус

Для наглядности задачи необходимо нарисовать конус. Чтобы было удобней оперировать данными с рисунка, присвойте буквы точкам:

• а и c – точки на основании конуса;
• b – вершина конуса;
• o – центр основания конуса.

Должен получиться примерно такой рисунок:

http://bit.ly/2jexGJW

В условии задачи сказано, что необходимо найти площадь осевого сечения конуса. Ось конуса – прямая ob:

http://bit.ly/2zsXBsk

Площадью осевого сечения конуса является треугольник abc.

Рассмотрите треугольник abc

http://bit.ly/2jLCw5b

• ab=bc (из свойств конуса), значит треугольник abc – равнобедренный;
• oc = oa = 3;
• треугольники abo и obc равны;
• bo перпендикулярна ac, значит треугольники abo и obc прямоугольные;

Найдите высоту ob

• треугольник obc – перпендикулярный;
• oc = 3;
• угол obc = 120°/2 = 60°;

Через тангенс угла obc запишите отношение oc к ob и найдите длину ob:

• tg(obc) = oc/ob;
• ob = oc/ tg(obc);
• ob = 3/ tg(60°) = 3/√3 = √3;

Площадь треугольника abc равна половине произведения ob на ac (основания треугольника на его высоту): 

• S abc = ob * ac / 2;
• ac = 2 * oc = 2 * 3 = 6;
• S abc = √3 * 6 / 2 = 3√3;

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны образующей, а основание - диаметру основания конуса. Высота, проведенная из вершины такого сечения к основанию, является также биссектрисой и делит угол при вершине пополам. Отношение расстояния от центра основания конуса до образующей к высоте конуса равно синусу угла между высотой и образующей: sin α = l / h, где α = 120 / 2 = 60°, l = 3 см.Отсюда, высота конуса равна h = sin α / l = sin 60 / 3 = 6 / √3 = 2√3.С другой стороны, тангенсу угла между высотой конуса и образующей равно отношение радиуса основания к высоте конуса: tg α = r / h, отсюда r = h * tg α = 2√3 * tg 60 = 2√3 * √3 = 6 см.Площадь осевого сечения равна половине произведения высоты конуса на диаметр основания: Sсеч = 0,5 * h * d = 0,5 * h * 2 * r = h * r = 2√3 * 6 = 12√3 ≈ 20,78 см2.