profile
Опубликовано - 4 месяца назад | По предмету Геометрия | автор Аноним

Как найти расстояние (в прямоугольным треугольнике) между центрами вписанной описанной окружности

  1. Ответ
    Ответ дан Попова Мария

       Обозначения:
       ∠C = 90°;
       AB = c;
       BC = a;
       AC = b;
       R - радиус описанной окружности;
       r - радиус вписанной окружности.

    n

      Свойства вписанной и описанной окружностей

    n

       Пусть точки M и N являются центрами вписанной и описанной окружностей (http://bit.ly/2ztnKqW).

    n

       Поскольку в треугольнике ABC гипотенуза AB является диаметром описанной окружности, то точка N лежит в середине AB.  

    n

       Четырехугольник MQCL является прямоугольником, потому что:

    n

          ∠C = 90°;

    n

          ∠MQC = ∠MQC = 90°, т.к. радиус перпендикулярен касательной;

    n

          ∠QML = 90°, т.к. сумма углов четырехугольника равна 360°,

    n

       но поскольку соседние стороны равны: MQ = ML = r, то он также является квадратом.

    n

      Вычисление длины отрезка NP

    n

       Отрезки BP и BL являются касательными для вписанной окружности. Поэтому расстояние от точки B до точек касания P и L равны:

    n

          BP = BL = BC - LC = a - r.

    n

       Вычислим длину отрезка NP:

    n

          NP = BP - BN;

    n

          NP = a - r - R;

    n

          NP = a - (R + r).

    n

       Аналогично получим для касательных AP и AQ, проведенных  из точки A:

    n

          AP = AQ = AC - AQ = b - r;

    n

          NP = AN - AP;

    n

          NP = R - (b - r);

    n

          NP = (R + r) - b.

    n

       Из этих двух равенств следует:

    n

          a + b = 2 * (R + r);

    n

          NP = 1/2 * (a - b).

    n

      Вычисление расстояния между центрами окружностей

    n

       К прямоугольному треугольнику MPN применим теорему Пифагора, чтобы определить неизвестную гипотенузу MN, которая и есть расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей:

    n

     

    n
      n
    • MN² = NP² + MP²;
    • n
    • MN² = 1/4 * (a - b)² + r²;
    • n
    • N = √{r² + ((a - b)/2)²}.
    • n
    n

       Проверим для равнобедренного треугольника (a = b):

    n

          MN = r.

    n

       Ответ: √{r^2 + ((a - b)/2)^2}.

    n

     

    0



Топ пользователи