Как найти расстояние (в прямоугольным треугольнике) между центрами вписанной описанной окружности

   Обозначения:   ∠C = 90°;   AB = c;   BC = a;   AC = b;   R - радиус описанной окружности;   r - радиус вписанной окружности.

  Свойства вписанной и описанной окружностей

   Пусть точки M и N являются центрами вписанной и описанной окружностей (http://bit.ly/2ztnKqW).

   Поскольку в треугольнике ABC гипотенуза AB является диаметром описанной окружности, то точка N лежит в середине AB.  

   Четырехугольник MQCL является прямоугольником, потому что:

      ∠C = 90°;

      ∠MQC = ∠MQC = 90°, т.к. радиус перпендикулярен касательной;

      ∠QML = 90°, т.к. сумма углов четырехугольника равна 360°,

   но поскольку соседние стороны равны: MQ = ML = r, то он также является квадратом.

  Вычисление длины отрезка NP

   Отрезки BP и BL являются касательными для вписанной окружности. Поэтому расстояние от точки B до точек касания P и L равны:

      BP = BL = BC - LC = a - r.

   Вычислим длину отрезка NP:

      NP = BP - BN;

      NP = a - r - R;

      NP = a - (R + r).

   Аналогично получим для касательных AP и AQ, проведенных  из точки A:

      AP = AQ = AC - AQ = b - r;

      NP = AN - AP;

      NP = R - (b - r);

      NP = (R + r) - b.

   Из этих двух равенств следует:

      a + b = 2 * (R + r);

      NP = 1/2 * (a - b).

  Вычисление расстояния между центрами окружностей

   К прямоугольному треугольнику MPN применим теорему Пифагора, чтобы определить неизвестную гипотенузу MN, которая и есть расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей:

 

• MN² = NP² + MP²;
• MN² = 1/4 * (a - b)² + r²;
• N = √{r² + ((a - b)/2)²}.

   Проверим для равнобедренного треугольника (a = b):

      MN = r.

   Ответ: √{r^2 + ((a - b)/2)^2}.