В трапеции ABCD продолжение боковых строн AB и CD пересекаются в точке F . Докажите , что треугольник BFC и AFD подобнее

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2KSRC0Q).

Докажем, что треугольники АFD и BFC подобны по двум углам, первому признаку подобия треугольников.

Угол F в вершине обеих треугольников общий, следовательно. ∠AFD = ∠BFC. Рассмотрим углы  BAD и  FBC. Это соответственные углы при пересечении параллельных прямых AD и ВС секущей AF, следовательно ∠FAD = ∠FBC. Тогда треугольник АFD подобен треугольнику BFC.

Так как, по условию, АB / BF=3 / 1, тогда АВ = 3 * BF.

AF = AB +BF = 3 * BF + BF = 4 * BF.

Когда коэффициент подобия треугольников равен:

К = AF / BF = 4 * BF / BF = 4.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, тогда:

Safd / Sbfc = 4². По условию Sbfc = 2 см².

Safd / 2 = 16.

Тогда площадь трапеции будет равна: Sabcd = Safd - Sbfc = 32 – 2 = 30 см².

Ответ: Площадь трапеции равна 30 см².