В прямоугольнике ABCD диагональ BD равна 13 а периметр равен 34. Найдите площадь этого прямоугольника.

Пусть АВ = СД = а, ВС = АД = в.

1. Треугольник АВД - прямоугольный, отсюда: ВД² = АВ² + АД²

ВД² = АВ² + АД^2, по условию ВД = 13, отсюда: а² + в² = 169.

2. Периметр прямоугольника находится по формуле  Р = (а + в) * 2

По условию Р = 34, отсюда (а + в) * 2 = 34, а + в = 17.

3. Получилась система уравнений:

а² + в² = 169

а + в = 17

4. Выразим из второго уравнения переменную а и подставим в первое уравнение.

а = 17 - в

(17 - в)² + в² = 169

5. Раскроем скобки по формуле квадрата разности.

289 - 34в + в² + в² - 169 = 0

2в² - 34в + 120 = 0

6. Делим уравнение на 2.

в² - 17в + 60 = 0

7. Решаем квадратное уравнение через дискриминант.

D = 289 - 240 = 49

в₁ = (17 + 7)/2 = 12

в₂ = (17 - 7)/2 = 5

Так как а = 17 - в, то а₁ = 17 - 12 = 5, а₂ = 17 - 5 = 12.

То есть стороны прямоугольника равны 12 и 5, значит площадь равна S = а * в = 5 * 12 = 60.