В трапеции ABCD диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD и является биссектрисой угла A. Найдите длину AB, если

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2MeeHvl).

В треугольнике АСД, по условию угол АДС = 60⁰, а угол АСД = 90⁰, тогда угол АСД = 180 – 90 – 60 = 30⁰.

Так как АС биссектриса угла ВАД, то угол ВАД = ВАС + САД = 30 + 30 = 60⁰, следовательно, трапеция равнобедренная и АВ = СД.

Пусть длина АВ = Х см.

В треугольнике АСД, по условию угол АДС = 60⁰, а АС перпендикулярно СД, тогда угол САД = 180 – 90 – 60 = 30⁰.

Катет СД = АВ = Х см, и лежит против угла 30⁰, тогда гипотенуза АД равна длине двух катетов СД.

АД = 2 * СД = 2 * Х.

Тогда периметр трапеции равен:

Р = АВ + ВС + Сд + АД = Х + Х + Х + 2 * Х = 5 * Х = 35 см.

Х = 35 / 5 = 7 см.

АВ = ВС = СД = 5 см.

Ответ: Длина АВ = 5 см.