Дан квадрат АВСD. На каждой его стороне отложены равные отрезки АА1= ВВ1 = СС1 = DD1. Докажите что четырехугольник А1В1С1D1

Для решения рассмотрим рисунок (

Так как АВСД квадрат, то АВ = ВС = СД = АД.

Докажем, что треугольники А1ВВ1, В1СС1, С1ДД1 и Д1АА1 равны.

Все треугольники прямоугольные, так как катеты есть части сторон квадрата АВСД.

По условию, АА1 = ВВ1 = СС1 = ДД1.

Катет А1В треугольника А1ВВ1 равен (АВ – АА1).

Катет Д1А треугольника Д1АА1 равен (АД – ДД1).

С1Д = (СД – СС1).

В1С = (ВС – ВВ1).

Тогда треугольники А1ВВ1, В1СС1, С1ДД1 и Д1АА1 равны по двум катетам.

Так как треугольники равны, то и соответствующие углы треугольников равны. Угол ВВ1А1 = АА1Д1. Сумма острых углов прямоугольных треугольников равна 90⁰. ВВ1А + В1А1В = 90⁰.

Тогда и В1А1В + АА1Д1 = 90⁰.

Тогда угол В1А1Д1 = 180 - В1А1В - АА1Д1 = 180 – 90 = 90⁰.

Аналогично доказываются, что углы В1С1Д1, С1Д1А1, А1В1С1 = 90⁰.

Четырехугольник, у которого все стороны равны, а углы равны 90⁰ – квадрат, что и требовалось доказать.