внутри треугольника abc отмечена точка M, а на стороне BC-точки D и E так, что DM паралельна AB, EM паралельна AC, BD

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/344K9Gj).

Так как, по условию, ВД = ДМ, то треугольник ВДМ равнобедренный, следовательно, угол ДВМ = ДМВ.

Отрезок АВ параллелен ДМ, тогда угол АВМ = ВМД как накрест лежащие углы при пересечении параллельных АВ  и ДМ секущей ВМ. Тогда и угол АВМ = ДВМ, а значит ВМ биссектриса угла АВС.

Аналогично, треугольник МЕС равнобедренный, так как МЕ = СЕ, угол ЕМС = ЕСМ. МЕ || АС, тогда угол АСМ = ЕМС = ЕСМ, а СМ биссектриса угла АСВ.

Тогда точка М есть точка пересечения биссектрис и есть центр вписанной окружности, а значит расстояние от точки М до сторон треугольника равно радиусу этой окружности, что и требовалось доказать.