13. Биссектриса внешнего угла при вершине B треугольника ABC пересекает продолжение биссектрисы угла A этого треугольника

 Главное равенство: углы треугольника АВС (< А + < В + < С) = 180°.

Рассмотрим треугольник АВО, в котором известен < АОВ = 80°. Запишем равенство для треугольника АВО:

< ВАО = < А / 2, так как АО биссектриса угла ВАС, который равен < А < АВО = < В + (180 - < В) / 2 = 90° + < В / 2. < ВОА + < ВАО + < АВО = 180°, как сумма углов в треугольнике АВО.

Составим уравнение: 

< ВОА = 80° = 180° - (< ВАО + < АВО) ; 80° = 180° - (< А / 2 + 90° + < В / 2) = 90° - (< А / 2 + < В / 2).

Отсюда: (< А / 2 + < В / 2) = 10°, (< А + < В) = 2 * 10° = 20°.Теперь найдем угол АСВ = < С = 180 - (< А + < В) = 180° - 20° = 160°.