1.Докажите,что если в четырехугольнике диагонали равны между собой и являются биссектрисами углов четырехугольника, то

1.

Если у выпуклого четырехугольника его диагонали являются биссектрисами его углов, то этот четырехугольников ромб.

Ромб, диагонали которого равны, есть квадрат, что и требовалось доказать.

2.

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2D6CfQF).

Пусть длина отрезка АК равна Х см, тогда СК = 3 * Х см. Тогда АС = АК + СК = 4 * Х см.

Так как диагонали прямоугольника, в точке пересечения делятся пополам, то ОМ есть средняя линия треугольника АВД, тогда АВ = 2 * ОМ = 2 * 12 = 24 см.

По теореме Пифагора ВС² = АС² – АВ² = 16 * Х² – 576.

Треугольники АВК и ВСК прямоугольные с общим катетом ВК.

ВК² = АВ² – АК² = 576 – Х².

ВК² = ВС² – СК² = 16 * Х² – 576 – 9 * Х².

576 – Х² = 16 * Х² – 576 – 9 * Х².

8 * Х² = 2 * 576 = 1152.

Х² = 144.

Х = 12 см.

АС = 4 * 12 = 48 см.

Ответ: Длина диагонали равна 48 см.