Биссектриса треугольника делит противоречащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2PeiUTF).

Так как ВД биссектриса угла В, то угол АВД = СВД.       

Определим площади треугольников АВД и СВД.

Sавд = АВ * ВД * SinАВД / 2.

Sсвд = ВС * ВД * SinСВД / 2.

Найдем отношение площадей.

Sавд / Sсвд = (АВ * ВД * SinАВД / 2) / (ВС * ВД * SinСВД / 2) = АВ /ВС. (1)

Построим высоту ВН, тогда:

Sавд = ВН * АД / 2.

Sсвд = ВН * СД / 2.

Sавд / Sсвд = (ВН * АД / 2) / (ВН * СД / 2) = АД / СД. (2)

Тогда 1 равно 2.

АВ / ВС = АД / СД, что и требовалось доказать.