У четырехугольника PQRS PQ||SR. Величина угла RSP равна 120°. RS=SP=1/3PQ. Чему равна величина угла PQR?

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2rmYuQ4).

Пусть RS = X см, тогда и SP = Х см, а QP = 3 * X см.

Четырехугольник PQRS трапеция. Построим высоту SH. Треугольник SPH прямоугольный в котором угол РSH = (120 – 90) = 30⁰.

Тогда катет РН лежит против угла 30⁰, а значит РН = SP / 2 = Х / 2.

Тогда SH² = SP² – PH² = X² – (X / 2)² = 3 * X² / 4.

SH = X * √3 / 2 см.

Построим высоту RK. Четырехугольник RSHK прямоугольник, тогда КН = RS = Х см, RK = SH = X * √3 / 2 см.

Длина отрезка QK = QP – KH – PH = 3 * X – X / 2 – X = 3 * X / 2 см.

В прямоугольном треугольнике QRK tgkqr RK / QK = (X * √3 / 2) / (3 * X / 2) = √3/3.

Угол PQR = arctg √3/3 = 30⁰.

Ответ: Угол PQR равен 30⁰.