В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена биссектриса AL. Найдите AL, если BL=b и CL=c.

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2OB9YbM).

Дна стороны ВС = (b + c).

Так как треугольник АВС равнобедренный, то АВ = ВС = (b + c).

Так как АL медиана, то по ее свойству, CL / AC = BL / AB.

AC = CL * AB / BL = c * (b + c) / b.

Применим формулу длины биссектрисы треугольника.

AL2 = AC * AB – CL * BL = (c * (b + c) / b) * (b + c) – c * b =

(c * (b² + 2 * b * c + c²) – c * b²) / b = (c * b² + 2 * b * c2 + c³ – c * b²) / b =

(c3 + 2 * b * c2) / b = c2 * (c + 2 * b) / b.

AL = c * √(c + 2 * b) / b.

Ответ: Длина биссектрисы равна c * √(c + 2 * b) / b.