Через центр окружности, вписанной в трапецию, проведена прямая, параллельная основаниям. Докажите, что отрезок этой прямой,

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2sbJMbw).

Так как в трапецию вписана окружность, то сумма длин боковых сторон равна сумме длин оснований трапеции.

(АВ + СД) = (ВС + АД).

Отрезок КМ, по условию, проведен через центр окружности, а так как высота РН, равная диаметру окружности, делится точкой О пополам, то отрезок КМ есть средняя линия трапеции.

Тогда КМ = (ВС + АД) / 2, а так как АВ + СД = ВС + СД, то

КМ = (АВ + СД + ВС + СД) / 4 = Равсд / 4, что и требовалось доказать.