1)Высота ромба, проведенная из вершины тупого угла, делит сторону ромба пополам. Определите углы ромба. 2)В параллелограмме

1).

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2NCNubx).

Так как высота СН делит сторону АД пополам, то она является и медианой треугольника АСД.

Если медиана совпадает с высотой треугольника то этот треугольник равнобедренный, АС = ДС.

Так как у ромба все стороны равны, то АД = СД, а следовательно СД = АС и треугольник АСД равносторонний.

У равностороннего треугольника все углы равны 60⁰, угол АСД = СДА САД = 60⁰.

Диагонали ромба делят углы при вершинах пополам, тогда угол ВАД / 2 = САД.

Угол ВАД = 2 * САД = 2 * 60 = 120⁰.

У ромба противоположные углы равны, тогда угол АВС = АДС = 60⁰, угол ВАД = ВСД = 120⁰.

Ответ: Углы ромба равны 60⁰ и 120⁰.

2).

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2QUVOBb).

По свойству биссектрис параллелограмма, биссектрисы противоположных углов параллельны или совпадают, тогда ВЕ параллельно ДF.

Докажем, что треугольник АВЕ равен треугольнику СДF.

У треугольников АВ = СД, как противоположные стороны параллелограмма. Угол АВЕ треугольника АВЕ равен углу СДF, как половины тупых углов параллелограмма деленные биссектрисами. Угол АЕВ треугольника АВЕ равен углу СFД треугольника СДF, так вертикальные углы при пересечении диагонали АС параллельными АЕ и ДF.

Тогда треугольники АВЕ и СДF равны по стороне и двум углам второму признаку равенства треугольников. Тога DЕ = ДF.

Если две стороны четырехугольника равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм, что и требовалось доказать.

3).

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2PVIN9g)

Опустим из вершин тупых углов трапеции высоты ВН и СК. Так как трапеция равнобедренная, то АН = ДК.

Обозначим основание ВС через Х см, тогда АВ = ВС = СД = Х см, а АД = 2 * Х см.

АН = ДК = (АД – ВС) / 2 = (2 * Х – Х) / 2 = Х / 2.

В прямоугольном треугольнике АВН, катет АН равен (Х / 2), а гипотенуза АВ равна Х см, значит, кате АН лежит против угла 30⁰, АВН = 30⁰. Тогда угол АВС = 30 + 90 = 120⁰. Сумма углов при боковых сторонах трапеции равна 180⁰, тогда угол ВАД = 160 – 120 = 60⁰.

Так как трапеция равнобедренная, то угол ВАД = АДС = 60⁰, угол ВСД = АВС = 120⁰.

Ответ: Углы трапеции равны 60⁰ и 120⁰.