Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 см, а высота,проведенная к ней равна 12 см. Найдите катеты треугольника

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2PC6uV0).

Пусть отрезок СД = Х см, тогда АД = (25 – Х).

По свойству высоты прямоугольного треугольника, высота, проведенная из вершины прямого угла есть корень квадратный из произведения отрезков, на которые высота делит гипотенузу.

ВД = √(АД * ДС).

12 = √(25 – Х) * Х.

Возведем обе стороны равенства в квадрат.

144 = 25 * Х – Х².

Х² – 25 * Х + 144 = 0.

Решим квадратное уравнение.

D = b² – 4 * a * c = (-25)² – 4 * 1 * 144 = 625 - 576 = 49.

Х₁ = 25 - √49 / (2 * 1) = (25 – 7) / 2 = 18 / 2 = 9.

Х₂ = 25 + √49 / (2 * 1) = (25 + 7) / 2 = 32 / 2 = 16.

Если СД = 9 см, то АД = 25 – 9 = 16 см.

Тогда, по теореме Пифагора:

 гипотенуза треугольника АВД АВ = √АД² + ВД² = √16² + 12² = √400 = 20см.

гипотенуза треугольника ВДС ВС = √СД² + ВД² = √9² + 12² = √225 = 15см.

Если СД = 16 см, то АД = 25 – 16 = 9 см.

То длины будут равны: АВ = 15 см, ВС = 20 см.

Длины гипотенуз треугольников АВД и ВДС совпадают с катетами треугольника АВС

Ответ: Катеты треугольника АВС равны 15 и 20 см, гипотенуза делится на отрезки 9 и 16 см.