дана правильная треугольная пирамида,сторона основания которой 12 см.Её боковое ребро составляет угол 45 градусов с основанием.Найти

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2MdvkZK).

В равностороннем треугольнике АВС проведем высоту АН и определим ее длину.

АН = а * √3 / 2, где а – длина стороны треугольника. АН = 12 * √3 / 2 = 6 * √3 см.

Определим площадь основания пирамиды. Sосн = ВС * АН / 2 = 12 * 6 * √3 / 2 = 36 * √3 см².

Отрезок АО есть радиус описанной вокруг треугольника АВС окружности, тогда АО = ВС / √3 = 12 / √3 = 4 * √3 см.

Треугольник ДАО прямоугольный и равнобедренный, так как угол А у него равен 45⁰, тогда ДО = АО = 4 * √3 см.

Определим Объем пирамиды.

V = Sосн * ДО / 3 = (36 * √3 * 4 * √3) / 3 = 144 см³.

Проведем апофему ДН. По свойству высот равностороннего треугольника ОН = АО / 2 = 4 * √3 / 2 = 2 * √3 см. Тогда ДН2 = ОН² + ДО² = 12 + 48 = 60.

ДН = 2 * √15 см.

Определим площадь боковой грани.  Sвсд = ВС * ДН / 2 = 12 * 2 * √15 / 2 = 12 * √15, тогда

Sбок = 3 * Sвсд = 3 * 12 * √15 = 36 * √15 см².

Sпол = Sосн + Sбок = 36 * √3 + 36 * √15 = 36 * √3 * (1 + √5) см².

Ответ: Объем пирамиды равен 144 см³, площадь поверхности равна 36 * √3 * (1 + √5) см².