В правильной треугольной пирамиде апофема равна L и образует с высотой пирамиды угол a. Найдите объем пирамиды

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2YCxubg).

В правильной пирамиде точка О есть проекция вершины Д пирамиды и центр вписанной и описанной вокруг основания АВС.

В прямоугольном треугольнике ДОН SinДСН = ОН / ДН.

ОН = ДН * SinДСН = L * Cosα.

CosДСН = ОД / ДН.

ОД = ДН * CosДСН = L * Sinα.

По свойству медиан треугольника длина отрезка ОС = 2 * ОН = 2 * L * Sinα.

СН = ОН + ОС = 3 * L * Sinα.

В равностороннем треугольнике АВС СН = АВ * √3 / 2.

АВ = 2 * СН / √3 = 6 * L * Sinα / √3 = 2 * √3 * L * Sinα.

Тогда Sавс = АВ * СН / 2 = (2 * √3 * L * Sinα) * (3 * L * Sinα) / 2 = 3 * √3 * L² * Sin²α.

Тогда Vпир = Sавс * ДО / 3 = (3 * √3 * L² *  Sin²α) * L * Cosα / 3 = √3 * L³ * Sin²α * Cosα см³.

Ответ: Объем пирамиды равен √3 * L³ * Sin²α * Cosα см³.