1) В прямоугольном треугольнике АВС угол А =90 градусов, АВ=20см,. Высота АД=12см. Найдите Ас и cos C. 2) Диагональ ВД

1.

Прямоугольный  треугольник – это треугольник, у которого один из углов равен 90°.

Высота, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника делит его на два треугольника, подобных данному.  

Таким образом, ΔАВД подобен ΔАДС.

В подобных треугольниках, три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого. Значит:

АС / АВ = АД / ВД = ДС / АД.

Для  того, чтобы найти эти пропорции, нужно найти длину сторны ВД. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора:

АВ2 = АД2 + ВД2;

ВД2 = АВ2 - АД2;

ВД2 = 202 -122 = 400 – 144 = 256;

ВД = √256 = 16 см.

Теперь с помощью пропорции, найдем сторону АС:

АС / 20 = 12 / 16;

АС = 20 · 12 / 16 = 15 см.

Найдем сторону ДС:

ДС / 12 = 12 / 16;

ДС = 12 ∙ 12 / 16 = 144 / 16 = 9 см.

Для вычисления cos C воспользуемся теоремой косинусов, согласно которой косинусом является отношение прилежащего катета к гипотенузе:

cos C = ДС / АС;

cos C = 9 / 15 = 0,6.

Ответ: длина АС = 15 см; cos C = 0,6.

2.

Параллелограмм - это четырехугольник у которого противоположные стороны равны  и лежат на параллельных прямых.

Каждая диагональ делит параллелограм на два равных треугольника:

ΔАВС = ΔАСD; ΔВСD = ΔАВD;

Для вычисления площади воспользуемся формулой площади параллелограмма через две стороны и синус угла между ними: 

S = a ∙ b ∙ sin α, где

a – сторона АВ;

b – сторона АD;

sin α – sin ∠ВАD.

АВ = 12 см;

∠ВАD = 41°.

Найдем длину стороны АD. Для этого рассмотрим треугольник ΔАВD.  Так как диагональ ВD перпендикулярна к стороне АD, то ∠ВDА = 90°.

Воспользуемся теоремой косинусов. Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

cos α = AD / AB.

Согласно таблице косинусов углов, cos 41° ≈ 0,7547 ≈ 0,75;

AD = AB ∙ cos α;

AD = 12 ∙ 0,75 = 9 см.

Теперь вычислим площади параллелограмма:

S = АВ · AD · sinα;

Согласно таблице синусов

sin 41° ≈ 0,6561 ≈ 0,66;

S = 12 · 9 · 0,66 = 71,28 см².

Ответ: площадь параллелограмма равна 71,28 см².