В треугольнике АВС АВ=16, АС=14 угол В=60 градусов. Найдите площадь треугольника

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2CKsGda).

Пусть длина стороны ВС = Х см.

Тогда, по теореме косинусов для треугольника:

АС² = АВ² + Х² – 2 * АВ * Х * CosВ.

14² = 16² + Х² – 2 * 16 * Х * (1/2).

196 = 256 + Х² – 16 * Х.

Х² – 16 * Х – 60 = 0.

Решим квадратное уравнение.

D = b² – 4 * a * c = (-16)² – 4 * 1 * 60 = 256 - 240 = 16.

Х₁ = (16 - √16) / (2 * 1) = (16 – 4) / 2 = 12 / 2 = 6.

Х₂ = (16 + √16) / (2 * 1) = (16 + 4) / 2 = 20 / 2 = 10.

Получилось, что длина стороны ВС может принимать два значения, 10 см если угол С будет острый, и 6 см, если он тупой.

Найдем, о теореме Герона площади для обоих случаев.

Определим полупериметр треугольника, если ВС = 6 см.

р1 = (14 + 16 + 6) / 2 = 36 / 2 = 18 см.

S1 = √(18 * (18 – 16) * (18 – 14) * (18 – 6) = √18 * 2 * 4 * 12 = √1728 = 24 * √3 см².

Определим полупериметр треугольника, если ВС = 10 см.

Р2 = (14 + 16 + 10) / 2 = 40 / 2 = 20 см.

S2 = √(20 * (20 – 16) * (20 – 14) * (20 – 10) = √20 * 4 * 6 * 10 = √4800 = 40 * √3 см².

Ответ: S1 = 24 * √3 см²,  S2 = 40 * √3 см².