В прямоугольный равнобедренный треугольник вписан квадрат, так что одна сторона лежит на гипотенузе.Найти периметр квадрата?

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2LYnshg).

Треугольник АВС равнобедренный и прямоугольный, следовательно, его углы ВАС и ВСА равны 45⁰.

Рассмотрим треугольник АДН, у которого угол ДНА прямой, так как сторона квадрата лежит на гипотенузе АС, угол ДАН = 45⁰, следовательно, и угол АДН = 45⁰. Тогда треугольник АДН равнобедренный, у него ДН = АН.

Рассмотрим треугольник КМС, у которого угол КМС прямой, так как сторона квадрата лежит на гипотенузе АС, угол КСМ = 45⁰, следовательно, и угол СКМ = 45⁰. Тогда треугольник КМС равнобедренный, у него КМ = МС.

Отрезок НМ на гипотенузе равен длине стороны квадрата ДКМН.

Таким образом, сторона квадрата делит гипотенузу на три равные части, которые равны стороне квадрата.

Тогда Рквадрата = АС + АС / 3 = АС * 4 / 3.

Ответ: Периметр квадрата равен АС * 4 / 3.