В окружность вписаны правильные четырёхугольник и шестиугольник. Чему равно отношение сторон четырёхугольника и шестиугольника?

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2TyMFPT).

Пусть длина стороны четырехугольника равна Х см, а длина стороны шестиугольника равна У см.

Правильный четырехугольник есть квадрат, тогда его диагональ равна диаметру описанной вокруг него окружности. Из прямоугольного треугольника АВС, АС² = D² = Х² + Х² = 2 * Х².

АС = Х * √2 см. Тогда ОА = ОВ = R = D / 2 = Х * √2 / 2 см.

Правильный шестиугольник делит окружность на шесть дуг, градусная мера которых равна 360 / 6 = 60⁰.

Проведем радиус ОМ. Центральный угол ВОМ = 60⁰, а так как ОВ = ОМ, то треугольник ВОМ равносторонний, а следовательно ВМ = У = Х * √2 / 2.

Тогда Х / У = 2 / √2 = √2.

Ответ: Отношение сторон равно √2.