Хорда окружности,равная m, стягивает дугу в 120°.Найдите радиус окружности

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2zpldfh).

Первый способ.

Так как хорда АВ стягивает дугу в 120⁰, то центральный угол, опирающийся на эту дугу так же равен 120⁰.

Из точки О, центра окружности, проведем радиусы окружности ОА и ОВ.

Так как ОА = ОВ = R, то треугольник АОВ равнобедренный. Проведем высоту ОН к основанию АВ треугольника АВС. В равнобедренном треугольнике высота так же есть биссектриса и медиана треугольника. Тогда АН = ВН = m / 2, а угол АОН = ВОН = 120 / 2 = 60⁰.

В прямоугольном треугольнике АНО SinАОН = АН / ОА.

ОА = АН / Sin60.

ОА = (m / 2) / (√3 / 2) = m / √3 см.

Второй способ.

Так как хорда АВ стягивает дугу в 120⁰, то центральный угол, опирающийся на эту дугу так же равен 120⁰.

Из точки О, центра окружности, проведем радиусы окружности ОА и ОВ.

Так как ОА = ОВ = R, то треугольник АОВ равнобедренный.

Применим теорему косинусов для треугольника.

АВ² = ОА² + ОВ² – 2 * ОА * ОВ * Cos120.

m² = R² + R² – 2 * R² * (-1/2).

m² = R² + R² + R² = 3 * R².

R = m / √3 см.

Ответ: Радиус окружности равен m / √3 см.