В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке О. Докажите, что площади треугольников AOB и COD

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2MNim4t).

Проведем высоты ВВ1 и СС1трапеции АВСД.

Рассмотрим треугольники АВД и АСД.

Площадь треугольника АСД равна:

Sасд = АД * СС1 / 2.

Площадь треугольника АВД равна:

Sавд = АД * ВВ1 / 2.

ВВ1 = СС1, а сторона АД общая, следовательно Sавд = Sасд.

Проведем высоты АА1 и ДД1.

Рассмотрим треугольники АВС и ДСВ.

Площадь треугольника АВС равна:

Sасд = ВС * АА1 / 2.

Площадь треугольника ДСВ равна:

Sдсв = ВС * ДД1 / 2.

АА1 = ДД1, а сторона ВС общая, следовательно Sавд = Sдсв.

Sаов = Sавд – Sаод.

Sсод = Sасд – Sаод.

Так как мы доказали, что Sавд = Sасд, то Sаов = Sсод, что и требовалось доказать.