В трапеции ABCD с основанием AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Площадь треугольника BOC равна 4, площадь треугольника

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2MR6kr2).

Докажем, что треугольники ВОС и АОД подобны. У треугольников углы ВОС и АОД равны, как вертикальные углы пересекающихся прямых ВД и АС. Углы ОДА и ОВС так же равны, так как являются накрест лежащие при пересечении параллельных прямых Д и ВС секущей ВД, следовательно треугольники АОД и ВОС подобны по первому признаку подобия.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, тогда

К² = S1 / S2 = 9/4.

K = 3/2.

Тогда основания трапеции будут относиться: АД / ВС = 3 / 2.

Проведем перпендикуляр от меньшего основания к большему через точку пересечения диагоналей. Тогда КО – высота треугольника ВОС, ОМ – высота треугольника АОД, КМ – высота трапеции. ОМ / ОК = 3/2. КМ = ОМ + ОК.

Обозначим меньшее основание трапеции через Х, ВС = Х, тогда АД = 3/2 * Х = 1,5 * Х.

Обозначим высоту ОК через У, ОК = У, тогда ОМ = 3/2 * У = 1,5 * У.

МК = У + 1,5 * У = 2,5 * У.

Площадь треугольника ВОС равна:

Sвос = ВС * ОК / 2 = Х * У / 2 = 4.  

Х * У = 8.

У = 8 / Х.

МК  = 2,5 * У = 2,5 * (8 / Х) = 20 / Х.

Площадь трапеции равна:

Sавсд = (ВС + АД) * КМ / 2 = (Х + 1,5 * Х) * (20 / Х) / 2 = (50 * Х / Х) / 2 = 25.

Ответ: Площадь трапеции равна 25 см².