В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C медианы CC1 и BB1 перпендикулярны друг другу. Найти длину большей из

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2VTrwnI).

Так как медианы СН и ВК пересекаются под прямым углом, то треугольник СОВ прямоугольный, а ОМ его медиана проведенная к гипотенузе.

Тогда СМ = ВМ = ОМ.

По свойству медиан точка их пересечения делит их в отношении 2 / 1, тогда СМ = ВМ = ОМ = АМ / 3 = √3 см. ВС = 2 * ОМ = 2 * √3 см.

В прямоугольном треугольнике АСМ, по теореме Пифагора АС² = АМ² – СМ² = 27 – 3 = 24.

АС = √24 = 2 * √6 см.

В прямоугольном треугольнике АВС, АВ² = АС² + ВС² = 24 + 12 = 36.

АВ = 6 см.

Тогда СН = АВ / 2 = 3 см.

В прямоугольном треугольнике СВК СК = АС / 2 = √6 см.

Тогда ВК² = СК² + ВС² = 6 + 12 = 18.

ВК = 3 * √2 см.

Ответ: Длина большей медианы равна ВК = 3 * √2 см.