Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 4 см, а угол между боковым ребром и основанием равен 30 градусов.

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2XCkYrX).

Так как пирамида правильная, то в ее основании лежит равносторонний треугольник.

Высота равностороннего треугольника равна: АН = а * √3 / 2, где а – сторона треугольника, тогда а = ВС = 2 * АН / √3 = 8 / √3 см.

Определим площадь основания пирамиды. Sосн = АН * ВС / 2 = (4 * 8 / √3) / 2 = 16 / √3 см².

Высоты АН и ВК есть медианы треугольника, которые в точке О делятся в отношении 2 / 1, тогда АО = 2 * АН / 3 = 8 / 3 см.

В прямоугольном треугольнике АОД определим длину гипотенузы АД.

Cos30 = AO / АД.

АД = АО / Cos30 = (8 / 3) / √3 / 2 = 16 / (3 * √3) см.

В прямоугольном треугольнике АДК, по теореме Пифагора, ДК² = АД² – АК² = (16 /3 * √3)² - (4 / √3)² = 112 / 27.

ДК = √(112 / 27) = 4 * √7 / 3 * √3 см.

Определим площадь боковой поверхности пирамиды.

Sбок = 3 * Sасд = 3 * АС * ДК / 2 = 3 * (8 / √3) * (4 * √7 / 3 * √3) / 2 = 18 * √7 / 3 см².

Определим площадь полной поверхности.

Sпов = Sосн * Sбок = 16 / √3 + 18 * √7 / 3 см².

Ответ: Площадь полной поверхности равна 16 / √3 + 18 * √7 / 3 см².