правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны 18 см, пересечена плоскостью, паралельной основанию пирамиды

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2DzFmnw).

Для начала рассмотрим не усеченную пирамиду. Проведем диагонали АС и ВД в основании пирамиды, которым является квадрат со стороной 18 см.

Определим длину АС.

АС = АД * √2 = 18 * √2 см.

Диагонали квадрата, в точке пересечения делятся пополам. ОА = АС / 2 =  18 * √2 / 2 = 9 * √2 см.

Из прямоугольного треугольника АОS, по теореме Пифагора определим катет SO.

SO² = SA² – AO² = 182 – (9 * √2)² = 324 – 162.

SO = 9 * √2 см.

Проведем апофему SH и по теореме Пифагора из треугольника ASH определим ее длину.

SH2 = AS2 – AH2 = 182 – 92 = 324 – 91 = 243.

SH = 9 * √3 см.

Так как сечение пирамиды параллельно основанию, то оно отсекает от основной пирамиды подобную ей пирамиду, а так оно проходит через середину бокового ребра, то коэффициент подобия равен двум.

Тогда высота ОО1 усеченной пирамиды равна половине высоты SO, а апофема НН1 равна половине SH.

ОО1 = 9 * √2 / 2 = 4,5 * √2 см.

НН1 = 9 * √3 / 2 = 4,5 * √3 см.

Ответ: Высота усеченной пирамиды равна 4,5 * √2 см, апофема равна 4,5 * √3 см.