Высота правильной треугольной пирамиды равна а корней из 3, радиус окружности,описанной около её основания, 2а Найдите:

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2Grh6mU).

Точка О, точка пересечения медиан треугольника АВС, есть центр описанной и вписанной окружности. Тогда R = АО = 2 * а см.

Так как точка О, по свойству медиан, делит ее в отношении 2 / 1, тогда ОН = АО / 2 = 2 * а / 2 = а см.

В прямоугольном треугольнике ДОН, по теореме Пифагора, определим длину гипотенузы ДН.

ДН² = ОН² + ДО² = а² + а² * 3 = 4 * а².

ДН = 2 * а см.

В прямоугольном треугольнике ДОН, длина гипотенузы ДН в два раза больше катета ОН, тогда угол ОДН = 30⁰, а следовательно, угол ДНО = 30⁰.

Высота треугольника АВС равна: АН = АО + ОН = 2 * а + а = 3 * а см.

АН = b * √3 / 2, где b – сторона равностороннего треугольника.

ВС = 2 * АН / √3 = 2 * 3 * а / √3 = 6 * а / √3 см = 2 * а * √3 см.

Площадь треугольника ВСД равна: Sвсд = ВС * ДН / 2 = 2 * а * √3 * 2 * а / 2 = 2 * а² * √3 см².

Тогда Sбок = 3 * Sвсд = 3 * 2 * √3 * а² = 6 * √3 * а² см².

В прямоугольном треугольнике ДСН, определим величину гипотенузы СД.

СД² = СН² + ДН² = 3 * а² + 4 * а² = 7 * а².

СД = а * √7 см.

Тогда: Sвсд = СД * ВД * SinВДС / 2.

4 * а² * √3 = 7 * а2 * SinВДС.

SinВДС = 4 * √3 / 7 = 0,98

Угол ВДС ≈ 79⁰.

Ответ: Длина апофемы равна 2 * а см, угол равен 60⁰, площадь боковой поверхности равна 6 * √3 * а² см², угол при вершине равен 79⁰.