Угол ABC вписанный в окружность, О-центр окружности. Хорда AB=m, а ∠ACB= α/2. Найдите радиус окружности.

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2DZ1Bmc).

Так как вписанный угол АСВ, по условию, равен α/2, и он опирается на дугу АВ, то центральный угол АОВ равен половине градусной меры угла АСВ.

Угол АОВ = α⁰.

Треугольник АОВ равнобедренный, так как ОА = ОВ = R.

Определим радиус окружности по теореме косинусов для треугольника.

АВ² = ОА² + ОВ² – 2 * ОА * ОВ * CosАОВ.

m² = 2 * R² – 2 * R² * Cos α.

m² = 2 * R² * (1 – Cos α).

R² = m² / (2 * (1 – Cos α)) .

R  = m / √(2 * (1 – Cos α)).

Ответ: Радиус окружности равен m / √(2 * (1 – Cos α)).