Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 10 см и составляет с основанием угол 30 градусов.Найдите объем пирамиды,Sосн,Sбок,Sполн

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2KzpW66).

В прямоугольном треугольнике МОВ катет МО расположен против угла 30⁰, тогда МО = ВМ / 2 = 10 / 2 = 5 см.

ВО² = ВМ² – МО² = 100 – 25 = 75.

ВО = 5 * √3 см.

Медиана и высота ВМ делится в точке О в отношении 2 / 1, тогда ОМ = ВМ / 2 = 2,5 * √3 см.

ВМ = ВО + ОМ = 5 * √3 + 2,5 * √3 = 15 * √3 / 2 см.

Треугольник АВС равносторонний, тогда ВМ = АС * √3 / 2.

АС = ВМ * 2 / √3 = (15 * √3 / 2) * (2 / √3) = 15 см.

Тогда Sосн = АС * ВМ / 2 = (15 * 15 * √3 / 2) / 2 = 225 * √3 / 4 см².

Vпир = Sосн * МО / 3 = (225 * √3 / 4) * 5 / 3 = 1125 * √3 / 12 см³.

В прямоугольном треугольнике МОН определим длину апофемы МН.

ОН = ВО / 2 = 5 * √3 / 2 см.

МН² = МО² + ОН² = 25 + 75 / 4 = 175 / 4.

МН = 5 * √7 / 2 см.

Тогда Sмас = АС * МН / 2 = 15 * 5 * √7 / 2 = 75 * √7 / 2 см².

Sбок = 3 * Sмас = 3 * 75 * √7 / 2 = 225 * √7 / 2 см².

Sпов = Sосн + Sбок = (225 * √3 / 4) + (225 * √7 / 2) = 112,5 * (√3 / 2 + √7) см².

Ответ: Sосн = 225 * √3 / 4 см², Sбок = 225 * √7 / 2 см²,Sполн = 112,5 * (√3 / 2 + √7) см², Vпир = 1125 * √3 / 12 см³.