В правильной треугольной пирамиде боковые грани наклонены к основанию под углом 60гр. Расстояние от центра основания

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2JTVGCx).

Расстояние от центра основания до боковой грани есть отрезок ОК, перпендикулярный к медиане ДН. Тогда, треугольник КОН прямоугольный, в котором определим длину гипотенузы ОН.

Sin60 = OK / OH.

OH = OK / Sin60 = 2 * √3 / (√3 / 2) = 4 см.

tg60 = ДО / ОН.

ДО = ОН * tg60 = 4 * √3 см.

Точка О есть середина пересечения медиан треугольника АВС, тогда ВО = 2 * ОН = 2 * 4 = 8 см, тогда ВН = ВО + ОН = 8 + 4 = 12 см.

Через формулу высоты равностороннего треугольника АВС определим стону треугольника.

ВН = АС * √3 / 2.

АС = 2 * ВН / √3 = 2 * 12 / √3 = 8 * √3 см.

Тогда Sосн = АС * ВН / 2 = 8 * √3 * 12 / 2 = 48 * √3 см².

 Тогда Vпир = Sосн * ДО / 3 = 48 * √3 * 4 * √3 / 3 = 192 см³.

Ответ: Объем пирамиды равен 192 см³.