В трапеции ABCD продолжения боковых сторон AB и CD пересекаются в точке P, Q-точка пересечения диагоналей этой трапеции.

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/36pkGIv).

Используем свойство трапеции: Точка пресечения диагоналей и точка пересечения продолжения боковых сторон и середины оснований трапеции лежат на одной прямой. Тогда отрезок РМ есть медиана треугольника ВРС, МQ – медиана ВСQ.

Площадь треугольник АРС равна сумме площадей треугольников ABQ, BPQ, CPQ. Так как РМ медиана ВРС, то Sврм = Sврс, Sвмq = Sмсq, а тогда Sарс = Sавq + 2 * Sрвq.

По условию, Sарс = 4 * Sавq, тогда 4 * Sавq = Sавq + 2 * Sрвq.

3 * Sавq = 2 * Sрвq.

Sрвq / Sавq = 3 / 2.

Треугольники РВQ и АВQ имеют общую высоту, опущенную из общей точки Q, тогда отношение площадей этих треугольников равно отношению их оснований РВ и АВ. ВО / АВ = Sрвq / Sавq = 3 / 2.

2 * ВР = 3 * АВ.

АВ = 2 * ВР / 3.

АР = АВ + ВР = 2 * ВР / 3 + ВР = 5 * ВР / 3.

АР / ВР = 5/3.

Треугольники АРД и ВРС подобны, тогда АД / ВС = АР / ВР = 5/3.

ВС / АД = 3/5.

Ответ: Отношение оснований равно 3/5.