В прямоугольном треугольнике ABC длина катета AB равна 6, а длина катета BC равна 8. Точка D делит гипотенузу AC пополам.

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/357SysR).

Определим длину гипотенузы АС.

АС² = АВ² + ВС2 = 36 + 64 = 100. АС = 10 см.

По свойству медианы проведенной из вершины прямого угла АД = СД = ВД = АС / 2 = 10 / 2 = 5 см.

Треугольники АДВ и ВСД равнобедренные, тогда высоты ДЕ и ДР так же и медианы, АЕ = АВ / 2 = 3 см, СР = ВС / 2 = 4 см.

Построим радиусы ОК и О1Н к точкам касания.  Тогда по свойству касательных, проведенных из одной точки, СН = СР = 4 см, АК = АЕ = 3 см. Отрезок КН = АС – АК – СН = 10 – 3 – 4 = 3 см.

Определим радиусы вписанных окружностей в равнобедренные треугольники.

ОК = (АВ / 2) * √(2 * АД – АВ) / (2 * АД + АВ) = 3 * √(4 / 16) = 3 * 2 / 4 = 3/2 см.

ОН = (ВС / 2) * √(2 * ВД – ВС) / (2 * ВД + ВС) = 4 * √(2 / 18)  = 4/3 см.

Из точки О1 проведем перпендикуляр к ОМ, тогда О1МКН прямоугольник, О1М = КН = 3 см.

Отрезок ОМ = ОК – ОН = 3/2 – 4/3 = 9/6 – 8/6 = 1/6 см.

Треугольник ОО1М прямоугольный, тогда:

ОО1² = О1М² + ОМ² = 9 + 1/36 = 325/36.

ОО1 = √325 / 6 = 5 * √13 / 6 см.

Ответ: Между центрами окружностей 5 * √13 / 6 см.