В конусе через его вершину под углом фи к плоскости основания проведена плоскость, отсекающая от окружности основания

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/359SAR1).

Сечение ВКМ есть равнобедренный треугольник так как ВК = ВМ как образующие конуса. Построим высоту и медиану ВО1. В прямоугольном треугольнике ОО1В угол ОВО1 = β, тогда

ctgβ = ОО1 / ОВ = ОО1 / h.

OO1 = ctgβ * h см.

Построим радиусы ОК и ОМ. Треугольник ОКМ равнобедренный, так как ОМ = ОК, тогда ОО1 его высота, медиана и биссектриса.

Тогда в прямоугольном треугольнике ОО1М угол О1ОМ = α / 2, а Cos(α / 2) = OO1 / OM = OO1 / R = (ctgβ * h) / R.

R = (h * ctgβ) / Cos(α / 2).

Тогда Sосн = π * R² = π * ((h * ctgβ) / Cos(α / 2))² = h² * ctgβ / Cos(α / 2)².

V = Sосн * h / 3 = h³ * (ctgβ / Cos(α / 2)² / 3 = h³ * ctg²β / 3 * Cos²(α / 2).

Ответ: Объем конуса равен h³ * ctg²β / 3 * Cos²(α / 2).