в правильной четырехугольной пирамиде высота равна h,плоский угол при вершине равен a.Найдите площадь боковой поверхности.

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/36dnaJQ).

Боковые грани пирамиды есть равносторонние треугольники, тогда высота КН есть медиана и биссектриса.

Пусть сторона квадрата в основании пирамиды равна Х см.

Тогда ДН = Х / 2 см.

Треугольник КДН прямоугольный, тогда КН = ДН / tg(α/2) = X / 2 * tg(α/2) см.

Отрезок ОН есть средняя линия треугольника АСД, тогда ОН = Х / 2.

В прямоугольном треугольнике КОН, по теореме Пифагора:

КО² = КН² - ОН² = X / 2 * tg(α/2) – (Х / 2)² = (Х² / 4 * tg²(α/2) - X² / 4 = (Х² / 4) * (1 / tg²(α/2) – 1).

КО = h = (Х / 2) * (√(1 – tg²(α/2)) / tg²(α/2)) = X * (√(1 – tg²(α/2)) /2 * 2 * tg²(α/2)) = (используем формулу тангенса двойного угла) = Х /√(2 * tg(α/2) * tgα).

Х = h * √(2 * tg(α/2) * tgα).

КН = X / 2 * tg(α/2) = h /√(2 * tg(α/2) * tgα) / 2 * tg(α/2) = h * 2 * tg(α/2) / √(2 * tg(α/2) * tgα) =

(h * √2 / 2) * (√tgα / tg(α/2)).

Тогда Sдкс = (h * √(2 * tg(α/2) * tgα)) * (h * √2 / 2) * (√tgα / tg(α/2)) / 2 = (√2 * h² * tgα) / 2 см².

Sбок = 4 * Sдкс = 2 * √2 * h² * tgα см².

Ответ: Площадь боковой поверхности равна 2 * √2 * h² * tgα см².