АВС- равносторонний треугольник, через сторону АВ проведена плоскость альфа под углом 45° к плоскости треугольника АВС,

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2P6IQRZ).

Из точки О построим высоту ОН.

Треугольник СОН прямоугольный и равнобедренный, так как СО перпендикуляр к плоскости, а угол СНО, по условию, равен 45⁰.

Тогда СН = ОН * √2.

Треугольник АВС равносторонний, тогда его высота СН = АВ * √3 / 2.

АВ = 2 * СН / √3 = 2 * ОН * √2 / √3.

Площадь треугольника АОВ, по условию, равна 12 * √6 см².

Тогда Sаов = АВ * ОН / 2 = (2 * ОН * √2 / √3) * ОН / 2 = 12 * √6.

ОН² = 12 * √6 * √3 / √2 = 12 * √3 * √2 * √3 / √2 = 36.

ОН = 6 см.

Тогда АВ = 2 * 6 * √2 / √3 = 12 * √2 * √3 / √3 * √3 = 4 * √6 см.

Ответ: Длина стороны АВ равна 4 * √6 см.