В трапеции ABCD даны основания AD=8, BC=4. На продолжении BC выбрана точка М такая, что АМ отсекает от трапеции треугольник,

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2PtAst7).

По условию Sавсд = 4 * Sаед.

Проведем высоту трапеции через точку Е.

Тогда Sавсд = (ВС + АД) * КН / 2 = (4 + 8) * КН / 2 = 6 * КН.

Sаед = АД * ЕН / 2 = 8 * ЕН / 2 = 4 * ЕН.

6 * КН = 4 * 4 * (ЕН) = 16 * ЕН.

КН = ЕН + ЕК.

6 * ЕН + 6 * ЕК = 16 * ЕН.

 6 * ЕК = 10 * ЕН.

ЕК / ЕН = 10 / 6 = 5 / 3.

Треугольники АЕД и МЕС подобны, так как углы Е равны как вертикальные, а углы ЕАД и ЕМС равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АД и СМ секущей АМ.

Тогда СМ / АД = ЕК / ЕН = 5 /3.

СМ = АД * (5 / 3) = 8 * 5 / 3 = 40 / 3 = 13(1/3) см.

Ответ: СМ = 13(1/3) см.