Из точки вне окружности проведена секущая, образующая в окружности хорду АВ длиной 8 см. Кратчайшее расстояние от данной

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2CRheMO).

По условию, расстояние от точки К до центра окружности О равно 17 см. Точка пересечения М, отрезка КО, будет концом отрезка КМ, которое есть кротчайшим расстоянием от точки К до окружности, которое по условию равно 10 см. Отрезок ОМ = КО – КМ = 17 – 10 = 7 см, и равен радиусу окружности.

Проведем радиусы ОА и ОВ. ОА = ОВ = ОМ = 7 см.

В треугольнике АОВ, по теореме косинусов определим косинус угла В.

ОА² = АВ² + ОВ² – 2 * АВ * ОВ * СоsВ.

49 = 64 + 49 – 112 * СоsВ.

CosB = (64 + 49 – 49) / 112 = 64 / 112 = 4/7.

В треугольнике ВОМ, через теорему косинусов, определим длину стороны КВ.

КО² = КВ² + ОВ² – 2 * КВ * ОВ * СоsB.

289 = КВ² + 49 – 2 * КВ * 7 * 4 / 7.

КВ2 – 8 * КВ – 240 = 0.

Решим квадратное уравнение.

D = b² – 4 * a * c = (-8)² – 4 * 1 * (-240) = 64 + 960 = 1024.

Х₁ = (8 - √1024) / (2 * 1) = (8 – 32) / 2 = -24 / 2 = -12. (Не подходит, так как < 0).

Х₂ = (8 + √1024) / (2 * 1) = (8 + 32) / 2 = 40 / 2 = 20.

КВ = 20 см.

Тогда КА = КВ – АВ = 20 – 8 = 12 см.

Ответ: КА = 12 см, КВ = 20 см.