В прямоугольном параллелепипеде периметр двух боковых граней 24см 32см.Вычислите объем параллелепипеда,имеющего наибольшую

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2RClo0J).

Пусть Раа1в1в = 24 см, Раа1д1д = 32 см.

Обозначим измерения параллелепипеда через, Х., У, Z.

АВ = Х см, АД = У см, АА1 = Z см.

Тогда 2 * (Х + Z) = 24 см.

2 * (У + Z) = 32 см.

В системе из двух уравнений выразим Х через У.

Х + Z = 12.

У + Z = 16.

Вычтем из второго первое уравнение.

У – Х = 4.

У = Х  + 4.

Тогда Sбок = 2 * (Х + У) * Z = 2 * (Х + Х + 4) * Z = 4 * (X + 2) * Z.

Z = 12 – X, тогда: 4 * (Х + 2) * (12 – Х).

-4 * Х² + 48 * Х – 8 * Х + 24.

-4 * Х² + 40 * Х + 96.

-Х² + 10 * Х + 24 = 0.

Х₁ = -2.

Х₂ = 12.

Определим производную квадратного уравнения.

-2 * Х + 10 = 0.

Определим критические точки.

Х = 10 / 2 = 5.

Х = 5 лежит в промежутке (0; 12).

Определим знак производной в точке Х = 0 и Х = 6.

У’(0) = 10.

У’(6) = -2.

Производная меняет знак с + на -, значит Х = 5 точка максимума.

Тогда У = Х + 4 = 5 + 4 = 9 см.

Z = 16 – У = 16 – 9 = 7 см.

Тогда V = 5 * 9 * 7 = 315 cм³.

Ответ: Объем параллелепипеда равен 315 cм³.