Боковая поверхность правильной треугольной пирамиды в три раза больше площади основания. Площадь круга, вписанного в

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2P4O5Sm).

Так как пирамида правильная, то треугольник АВС равносторонний.

Тогда Sавс = АВ² * √3 / 4 см².

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник равен: R = ОК = АВ / 2 * √3.

По условию, Sавс = R. π * R² = R.

R = 1 / π. Тогда АВ = 2 * √3 / π см.

Sавс = АВ² * √3 / 4 = (2 * √3 / π)² * √3 / 4 = 3 * √3 / π² см².

По условию, площадь боковой поверхности в три раза больше площади основания. Площади боковых граней равны, тогда площадь треугольника ДАВ равна пощади основания.

Sдав = Sавс = 3 * √3 / π²  = АВ * ДК / 2 см².

ДК = 2 * (3 * √3 / π²) / (2 * √3 / π) = 3 / π см.

Треугольник ДОК прямоугольный, тогда ДО² = ДК² – ОК² = (9 / π²) – (1 / π²) = 8 / π².

ДО = 2 * √2 / π см.

Тогда V = Sавс * ДО / 3 = (3 * √3 / π²) * (2 * √2 / π) * (1/3) = 2 * √6 / π³ см³.

Ответ: Объем пирамиды равен 2 * √6 / π³ см³.