в прямоугольный треугольник, периметр которого 36 см, вписана окружность. точка касания с окружностью делит гипотенузу

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2n3t1gb).

По свойству касательных, проведенных из одной точки, АК = АН, ВК = ВМ, СМ = СН = R.

R – радиус вписанной окружности.

Пусть АК = 3 * Х, а ВК = 2 * Х.

Тогда АВ = 3 * Х + 2 * Х = 5 * Х.

АН = 3 * Х, ВМ = 2 * Х.

По условию, периметр треугольника равен 36.

5 * Х + 2 * Х +R + 3 * X + R = 36.

10 * Х + 2 * R = 36.

R = (36 – 10 * Х) / 2 = 18 – 5 * Х.

Тогда ВС = ВМ + СМ = 2 * Х + 18 – 5 * Х = 18 – 3 * Х.

АС = АН + СН = 3 * Х + 18 – 5 * Х = 18 – 2 * Х.

По теореме Пифагора АВ² = АС² + ВС².

(5 * Х)² = (18 – 2 * Х)² + (18 – 3 * Х)².

25 * Х² = 324 – 72 * Х + 4 * Х² + 324 – 108 * Х + 9 * Х².

12 * Х² – 180 * Х + 648.

Х² + 15 * Х – 54 = 0.

D = b² – 4 * a * c = 15² – 4 * 1 * (-54) = 225 + 216 = 441.

Х₁ = (-15 - √ 441) / (2 * 1) = (-15 – 21) / 2 = -36/2 = -18. (Не подходит, Х не может быть < 0).

X₂ = (-15 + √ 441) / (2 * 1) = (-15 + 21) / 2 = 6/2 = 3.

Тогда ВС = 18 – 3 * 3 = 9 см.

Ответ: Меньший катет равен 9 см.