В треугольнике ABC медиана BB1 является биссектрисой угла ABC. Докажите, что AB=CB.

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2PiOGQu).

Произведем дополнительное построение. На продолжении отрезка ВВ1 отметим отрезок В1М = ВВ1.

В треугольниках АВВ1 и СМВ1 АВ1 = СВ1 так как ВВ1 медиана, ВВ1 = МВ1 по построению, угол АВ1В = СВ1М как вертикальные, тогда треугольники АВВ1 и СМВ1 равны по двум сторонам и углу между ними.

Тогда угол АВВ1 = СМВ1 как сходственные углы равных треугольниках.

Так как угол АВВ1 = СВВ1 так как ВВ1 биссектриса, а угол АВВ1 = СМВ1, то угол СВВ1 = СМВ1.

Тогда в треугольнике ВСМ углы при основании ВМ равны, то треугольник ВСМ равнобедренный, СМ = ВС, а так как СМ = АВ, то АВ = ВС, а треугольник АВС равнобедренный, что и требовалось доказать.