В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 1500, можно вписать окружность. Найдите расстояние

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2qpQdXR).

Так как в трапецию вписана окружность, то сумма его боковых сторон равна сумме длин его оснований.

АВ + СД = ВС + АД, а так как периметр трапеции равен 200 см, то АВ + СД = ВС + АД = 200 /  2 = 100 см.

Так как АВ = СД, то АВ = СД = 100 / 2 = 50 см.

Площадь трапеции, по условию, равна 1500 см², тогда (ВС + АД)* ВН / 2 = 1500.

100 * ВН = 3000.

ВН = 3000 / 100 = 30 см.

Из прямоугольного треугольника АВН, по теореме Пифагора, определим длину отрезка АН.

АН2 = АВ2 – ВН² = 50² – 30² = 2500 – 900 = 1600.

АН = 40 см.

В равнобедренной трапеции АН = ДЕ = 40 см.

Тогда АД = АН + НЕ + ЕД = 40 + НЕ + 40 = 80 + НЕ.

Так как ВС = НЕ, то АД + ВС = 100 = 80 + 2 * ВС.

ВС = 20 / 2 = 10 см, тогда АД = 40 + 10 + 40 = 90 см.

Треугольник ВОС подобен треугольнику АОД по двум углам, а его коэффициент подобия равен:

К = АД / ВС = 90 / 10 = 9.

Тогда МО / КО = 9.

МО = 9 * КО.

КО + МО = ВН = 30 см.

Тогда КО + 9 * КО = 30.

10 * КО = 30.

КО = 30 / 10 = 3 см.

Ответ: Расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания равно 3 см.