В треугольник с периметром, равным 84, вписана окружность. Одна из точек касания делит сторону треугольника на отрезки

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2FjV98A).

По свойству касательной, проведенной из одной точки, длины касательных равны.

Тогда АМ = АК = 14 см, СН = СК = 12 см.

Периметр треугольника равен:

Р = АМ + ВМ + ВН + СН + СК + АК = 84 см.

84 = 14 + ВМ + ВН + 12 + 12 + 14.

ВМ + ВН = 84 – 52 = 32 см.

Так как ВМ = ВН как отрезка касательных, то ВМ = ВН = 32 / 2 = 16 см.

АВ = 14 + 16 = 30 см.

АС = 14 + 12 = 26 см.

ВС = 12 + 16 = 28 см.

Определим полупериметр треугольника. р = Р / 2 = 84 / 2 = 42 см.

По теореме Герона определим площадь треугольника.

Sавс = Sавс = √р * (р – АВ) * (р – АС) * (р – ВС) = √42 * 12 * 14 * 16 = √112896 = 336 см².

Ответ: Площадь треугольника равна 336 см².