В шаре радиуса R выделен шаровой сектор с углом альфа в осевом сечении. Найдите его объем.

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2SEPi5v).

Объем шарового сектора вычисляется по формуле: Vсек = 2 * п * R² * H / 3, где R – радиус шара, Н – высота шарового сегмента, Н = АН.

Проведем радиус ВН в основании конуса шарового сегмента. Высота ОН есть биссектриса угла при вершине осевого сечения шарового сектора. Угол ВОН = ВОС / 2 = α / 2.

Тогда в треугольнике ВОН, Cos(α / 2) = OH / OB = OH / R.

OH = R * Cos(α / 2).

Тогда высота шарового сектора АН = R - R * Cos(α / 2) = R * (1 - Cos(α / 2)).

Тогда V = 2 * п * R² * R * (1 - Cos(α / 2) / 3 = 2 * п * R³ * (1 - Cos(α / 2) / 3 см³.

Ответ: Объем шарового сектора равен 2 * п * R³ * (1 - Cos(α / 2) / 3 см³.